Solucionario Matemáticas 1 Bachillerato SM Savia Pdf Ciencias y Tecnología

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Resumen de contenidos del libro de soluciones:

Números reales

Los números racionales: Se caracterizan porque pueden expresarse:

  • En forma de fracción, es decir, como el cociente de dos números enteros.
  • En forma decimal: o son enteros o tienen una expresión decimal finita o periódica.

Los números irracionales: Se caracterizan por:

  • No pueden expresarse como una fracción.
  • Su expresión decimal tiene infinitos números no periódicos.
  • El conjunto de todos los números irracionales es designado por I.

Álgebra

Es la rama de las matemáticas que utiliza números, letras y signos para referirse a múltiples operaciones aritméticas. Hoy en día entendemos el álgebra como el área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades.

La disciplina conocida como álgebra elemental, en este marco, sirve para realizar operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero, a diferencia de la aritmética, utiliza símbolos (a, x, y) en lugar de números. Esto permite formular leyes generales y referirse a números desconocidos (incógnitas), lo que permite desarrollar ecuaciones y el análisis correspondiente a su solución.

Trigonometría

La trigonometría, (del trígono triangular y la métrica medida) estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las relaciones trigonométricas. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de las matemáticas y se aplica en todos aquellos campos en los que se requieren mediciones de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría.

Tiene numerosas aplicaciones, entre ellas: las técnicas de triangulación, por ejemplo, se utilizan en la astronomía para medir las distancias a las estrellas cercanas, en la medición de las distancias entre puntos geográficos y en los sistemas de navegación por satélite.

Vectores

Un vector es un segmento orientado. Un vector AB está determinado por dos puntos, origen A y final B.
Elementos de un portador:

  • La forma de un vector es la distancia entre A y B y está designada por el vector entre bares : |AB|
  • La dirección del vector es la dirección de la línea donde se encuentra el vector y la de todos sus paralelos.
  • Sentido: si va de A a B o de B a A.

Vectores iguales: dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Todos se llaman representantes de un solo portador. Llamaremos a representativo canónico de ese vector que se origina en el punto O. Nota: Los vectores están representados por letras: u , v , w, … o uno de los sus representantes, designando su origen y su final con una flecha en él AB.

Geometría Analítica

Es una rama de las matemáticas dedicada al estudio en profundidad de las figuras geométricas y sus respectivos datos, como áreas, distancias, volúmenes, puntos de intersección, ángulos de inclinación, etc. Utiliza técnicas básicas de análisis matemático y álgebra.

Utiliza un sistema de coordenadas conocido como el plano cartesiano, que es bidimensional y consta de dos ejes: uno de abscisas (eje de las abscisas) y otro de ordenadas (eje de las ordenadas). Allí se pueden estudiar todas las figuras geométricas que nos interesan, asignando a cada punto de la misma un punto de coordenadas (x, y).

Así pues, el análisis de la geometría analítica suele implicar la interpretación matemática de una figura geométrica, es decir, la formulación de ecuaciones. O puede ser lo contrario: la representación gráfica de una ecuación matemática. Esta equivalencia está plasmada en la fórmula y = f(x), donde f es una función de algún tipo.

Cónicas

Una superficie cónica es generada por la rotación de una línea g, que llamamos generador, alrededor de otra línea y, eje, con la que se corta en un punto V, vértice.

Elementos de las superficies cónicas:

  • Superficie – una superficie cónica de revolución se genera por la rotación de una línea alrededor de otra línea fija, llamada eje, que corta oblicuamente.
  • Generatriz – el generador es cualquiera de las líneas oblicuas.
  • Vértice – el vértice es el punto central donde se cortan los generadores.
  • Hojas – las hojas son las dos partes donde el vértice divide la superficie cónica de la revolución.
  • Sección – una sección cónica es la curva de intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Dependiendo de la relación entre el ángulo de conicidad (alfa ) y la inclinación del plano con respecto al eje del cono (beta ), se pueden obtener diferentes secciones cónicas.

Números complejos

Los números complejos forman un grupo de dígitos que resultan de la suma de un número real y uno imaginario. Un número real, según la definición, es un número que puede ser expresado por un (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152).

Por otro lado, un número imaginario es un número cuyo cuadrado es aquel cuyo cuadrado es negativo. El concepto del número imaginario fue desarrollado por Leonard Euler en 1777, cuando dio 1 el nombre de i (de «imaginary»).

La noción de número complejo aparece en la imposibilidad de los números reales para cubrir las raíces en el orden parejo de todos los números negativos. Los números complejos pueden entonces reflejar todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no pueden hacer.

Funciones, límites y continuidad

Límite: podemos definirlo como el lugar donde, si no llegamos allí, nos encontraremos que puede acercarnos tanto como queramos. En matemáticas: siendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función y dos números 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ lim௫→௔ 𝑓(𝑥) = 𝑏 se lee: «límite cuando x tiende al número a de función 𝑓(𝑥) es igual a b».

El límite de una función en un punto, tiene un sentido de «lugar» hacia el cual dirige el valor de la función 𝑓(𝑥) cuando la variable independiente (𝑥) es se aproxima a un cierto valor.

Idea intuitiva de continuidad «una función continua es aquella cuyos gráficos se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel». La continuidad de una función puede estudiarse en un punto, en un intervalo, o en su totalidad. Es decir, una función es continua en un punto donde el límite existe en ese punto y corresponde al valor de la función en ese punto.

Derivadas

En el cálculo diferencial y el análisis matemático, la derivada de una función es la tasa de variación instantánea con la que el valor de esa función matemática varía a medida que cambia el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la tasa media de variación de la función en un determinado intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se hace cada vez más pequeño.

Para ello hablamos del valor de la derivada de una función en un punto determinado. La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor límite, si lo hay, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Funciones elementales

Una función elemental es una función que puede construirse a partir de un número finito de exponenciales, logaritmos, constantes, una variable, raíces de ecuaciones por composición y combinaciones, utilizando las cuatro operaciones elementales que serían la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Las funciones trigonométricas y sus inversiones entran en el grupo de las funciones elementales porque pueden obtenerse mediante el uso de variables complejas y sus relaciones entre las funciones trigonométricas, las funciones exponenciales y los logaritmos. Un ejemplo de una función no elemental es la función de error. Esta función se utiliza en el campo de la probabilidad, la estadística y las ecuaciones diferenciales parciales.

Integrales

Integrar es el proceso recíproco de derivación, es decir, dada una función f(x), buscar aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, por lo tanto, que F(x) es un primitivo o antiderivado de f(x); en otras palabras, los primitivos de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x)=f(x)

Si una función f(x) tiene un primitivo, tiene infinitos primitivos, todos diferenciados en una constante.

La integral indefinida es el conjunto de primitivas infinitas que puede tener una función.

  • Está representado por f(x) dx .
  • Leemos: integral de f de x diferencial de x.
  • \x22 no es el signo de la integración.
  • f(x) es el integrando o la función de integrar.
  • dx es el diferencial de x, e indica la variable de la función a integrar.
  • C es la constante de integración y puede asumir cualquier valor numérico real.
  • Si F(x) es un primitivo de f(x) entonces: \f(x)dx=F(x)+C
  • Para verificar que lo primitivo de una función es correcto, basta con derivarlo.

Distribuciones bidimensionales

Una variable bidimensional es una variable en la que cada individuo se define por un par de caracteres, (X, Y). Estos dos caracteres son a su vez variables estadísticas en las que existe una relación entre ellas, una de las dos variables es la variable independiente y la otra la variable dependiente.

Las distribuciones bidimensionales son aquellas en las que los valores de dos variables corresponden a cada individuo; las representamos para el par (xi, yi). Si representamos cada par de valores como coordenadas de un punto, el conjunto de todos ellos se denomina nube de puntos o diagrama de dispersión. Puedes dibujar una línea por encima de la nube de puntos que encaje lo mejor posible, llamada línea de regresión.

Probabilidad

La probabilidad de un acontecimiento es el límite al que tiende su «h» (frecuencia relativa) cuando el número de pruebas tiende a ser infinito.

La probabilidad (definición clásica = regla de Lapalace) de un acontecimiento es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, siendo todos los acontecimientos elementales igualmente probables (tienen la misma probabilidad).

Propiedades:

  • P(A ) es un número real, tal que 0 ≤ P(A) ≤ 1
  • P(Φ) = 0 (evento imposible).
  • P(E ) = 1 (evento seguro).

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